工作流、例题与失败模式

教材式例题：从玩具模型到完整建模框架

本章先解一道具体问题：

给定一套简化但合理的层栈与平面晶格参数，如何判断它是否存在值得继续设计的面发射候选模；若存在，这一判断依赖哪些中间输出，又还缺少哪些步骤才能升级为器件级结论？

读完本章，你应能

通过一个双层例题，学会把 PCSEL 问题从“物理图像”推进到“可执行建模步骤”，而不只是记住工作流名词。
在纸上完成一个最小四波 CWT 玩具模型的模式分裂、损耗排序与阈值判断，从而理解为什么有些模虽然亮，却不一定先激射。
在数值层面走完整条链：纵向模、单胞候选模筛选、有限阵列检查、简化电学/热学回写，并学会判断每一步到底能说什么、还不能说什么。

读前准备

建议已掌握第 10 章、第 13 章、第 25 章、第 17 章、第 18 章、第 19 章、第 20 章、第 22 章中关于最小 CWT、PWEM、完整工作流、外延层、电注入、热回写与鲁棒性分析的内容。

本章结构

本章所处模型层级：L1→L4

算例桥接图：每一层都给出明确输入、输出与结论边界，读者可沿证据链追踪“本层到底证明了什么”。图 26.1 · 原始 LaTeX/TikZ 图源独立渲染

图图 26.1 先给出本章双层例题的输入/输出边界，后文每一步都按这张桥接图检查“已经证明了什么、还缺什么”。

前面的例题更像一份任务说明：它告诉读者应该先做什么、后做什么，但还没有把“为什么这样做”和“手上到底应该算出什么”讲到足够像教科书例题。本章因此重写成双层结构。第一层是纸上可走完的玩具模型，我们明确写出一个四波耦合矩阵，算出模式分裂、损耗排序与一个最小阈值判断。第二层是数值全流程例题，我们固定一组简化但合理的参数，逐步完成纵向模检查、单胞候选模筛选、有限阵列验证以及简化电热回写，并在最后汇总每一步的中间结果、可下的可靠结论与仍然悬而未决的问题。读者完成本章后，应能把“工作流”落实为一组可检查的输入、输出和判断边界，而不是停留在抽象流程图。

这个题目研究一个教学型方格晶格 air-hole slab PCSEL。它看似保守，却同时要求回答四类问题：Gamma 点附近是否有合理候选模；有限阵列边界会不会推翻无限周期排序；电流注入和温升会不会改写模竞争；最后能汇报的究竟是“光学候选性”，还是“器件级可行性”。

第一层例题：纸上可完成的四波 CWT 玩具模型

例题 A 的设定

先暂时不碰真实层栈和复杂几何，只抓住 Gamma 点附近最基本的四个面内基本波：

\bm{a} = \begin{bmatrix} R_x & S_x & R_y & S_y \end{bmatrix}^{\mathsf T},

其中 $R_x,S_x$ 表示沿 $\pm x$ 方向传播的基本波， $R_y,S_y$ 表示沿 $\pm y$ 方向传播的基本波。我们考虑一个理想方格晶格，假设：

沿同一坐标轴的前后向散射强度相同，记为 $\kappa_1$ ；
$x$ 向与 $y$ 向波之间的交叉耦合相同，记为 $\kappa_2$ ；
四个基本波共享同一个背景频率 $\omega_0$ ；
所有模式都具有相同的内部损耗 $\gamma_i$ ；
只有完全对称的亮模额外耦合到垂直辐射通道，这一辐射损耗记为 $\gamma_r$ 。

ModelAssumptionBox[辐射矩阵的均匀性假设] 式 (26.2)中的辐射矩阵采用了一个简化假设：四个基本波以相同强度耦合到垂直辐射通道，即辐射矩阵元全部相等 ( $\zeta_{ij}=\gamma_r/4$ )。这对应于理想方格晶格且孔径远大于波长的极限情况。

更一般地，辐射矩阵可写为

\bm{\Gamma}_{\mathrm{rad}} = \begin{bmatrix} \zeta_{RR} & \zeta_{RS_x} & \zeta_{RS_y} & \cdots \\ \zeta_{S_xR} & \zeta_{S_xS_x} & \cdots & \cdots \\ \vdots & & \ddots & \\ \end{bmatrix},

其中矩阵元 $\zeta_{ij}$ 依赖于晶格形状、占空比和辐射方向图。对非理想结构（如椭圆孔、矩形孔或存在倾斜入射），辐射矩阵元可能不再均匀，导致暗模也获得有限的辐射损耗，甚至出现模式间的辐射耦合。本例题采用均匀辐射矩阵是为了突出对称性保护的物理图像，实际器件建模需通过严格电磁仿真提取辐射矩阵。 ModelAssumptionBox

在这些假设下，最小非厄米有效矩阵可以写成

\tilde{H} = \left(\omega_0-\ii\gamma_i\right)\bm{I} + \begin{bmatrix} 0 & \kappa_1 & \kappa_2 & \kappa_2 \\ \kappa_1 & 0 & \kappa_2 & \kappa_2 \\ \kappa_2 & \kappa_2 & 0 & \kappa_1 \\ \kappa_2 & \kappa_2 & \kappa_1 & 0 \end{bmatrix} -\ii\frac{\gamma_r}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}.

这里的第一项给出共同背景频率和内部损耗，第二项表示面内布拉格散射，第三项则表示只有“所有基本波同相叠加”的那一个组合会显著向垂直方向辐射。这个模型是故意简化的，但它已经足以回答两个教材里最关键的问题：模式为什么会分裂，以及“亮”为什么不自动等于“先激射”。

第一步：把矩阵换到对称性基底

在原始基底下直接解式 (26.2) 并不困难，但教学上更好的做法是先引入四个更贴近物理图像的线性组合：

\bm{u}_{\mathrm{B}} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}, \quad \bm{u}_{\mathrm{X}} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\1\\-1\\-1 \end{bmatrix}, \quad \bm{u}_{\mathrm{Y}} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\-1\\1\\-1 \end{bmatrix}, \quad \bm{u}_{\mathrm{D}} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\\-1\\-1\\1 \end{bmatrix}.

其中下标 `B` 可理解为最亮的全同相组合，`X` 表示 $x$ 与 $y$ 两组波之间的相对反相，`Y,D` 则属于在完美方格对称下仍简并的一对暗模组合。

把式 (26.2) 作用到这四个向量上，可逐个得到本征值。先看亮模：

\begin{aligned}\tilde{H}\bm{u}_{\mathrm{B}} &= \left(\omega_0-\ii\gamma_i\right)\bm{u}_{\mathrm{B}} + \left(\kappa_1+2\kappa_2\right)\bm{u}_{\mathrm{B}} -\ii\gamma_r \bm{u}_{\mathrm{B}} \notag\\ &= \left(\omega_0+\kappa_1+2\kappa_2-\ii(\gamma_i+\gamma_r)\right)\bm{u}_{\mathrm{B}}.\end{aligned}

因此

\tilde{\omega}_{\mathrm{B}} = \omega_0+\kappa_1+2\kappa_2-\ii(\gamma_i+\gamma_r).

对第二个组合 $\bm{u}_{\mathrm{X}}$ ，因为各分量求和为零，辐射矩阵对它不起作用，于是

\tilde{\omega}_{\mathrm{X}} = \omega_0+\kappa_1-2\kappa_2-\ii\gamma_i.

再对 $\bm{u}_{\mathrm{Y}}$ 与 $\bm{u}_{\mathrm{D}}$ 计算，可得到同样的本征值

\tilde{\omega}_{\mathrm{Y}} = \tilde{\omega}_{\mathrm{D}} = \omega_0-\kappa_1-\ii\gamma_i.

到这里，第一层例题的主要模式分裂已经在纸上完成了。四个原始基本波在周期散射下重组为四个超模，其中一个最亮，一个与 $x/y$ 组反相有关，另外两个在完美方格晶格下保持简并。

第二步：读出模式分裂和损耗排序

现在不要急着代数字，而是先解释式 (26.5)、式 (26.6)、式 (26.7) 的物理意义。

第一， $\kappa_1$ 控制的是同一轴前后向波之间的耦合，因此它会同时抬高亮模和 $X$ 模、压低 $Y/D$ 这对模的频率。第二， $\kappa_2$ 控制的是 $x$ 轴与 $y$ 轴两组波之间的耦合，因此它主要负责把亮模和 $X$ 模再拉开一个 $4\kappa_2$ 的频率间隔。第三，辐射损耗 $\gamma_r$ 只落在亮模上，这意味着“最强法向辐射”与“最小损耗”不是同一件事。

若把小信号净增长率写成

\lambda_j = g_{\mathrm{mod},j}-\gamma_j,

其中 $\gamma_j=-\operatorname{Im}(\tilde{\omega}_j)$ ，则亮模的光学线性阈值为

g_{\mathrm{th,B}}=\gamma_i+\gamma_r.

暗模（ $X/Y/D$ ）的总损耗仅为 $\gamma_i$ ，但它们垂直辐射耦合为零（ $\gamma_{r,\mathrm{dark}}=0$ ），因此无法作为表面发射器件激射。它们代表边发射通道，只能通过腔体边缘耦合输出。

这一步就是本例题最值得读者记住的第一结论：面发射最亮的模，不一定是最先跨过线性阈值的模。若垂直辐射耦合太强，亮模反而会因为额外辐射损耗而需要更高的阈值增益。对表面发射 PCSEL 而言，正确的品质因数不是最小阈值，而是最大斜率效率：

\eta_{\text{slope}} \propto \frac{\gamma_r}{\gamma_i+\gamma_r}.

暗模虽然表观阈值更低，但由于 $\gamma_r=0$ ，其表面发射斜率效率为零，因此不会在表面发射中竞争胜出。

第三步：在简并子空间中加入一个最小对称性破缺

完美方格晶格下， $\bm{u}_{\mathrm{Y}}$ 与 $\bm{u}_{\mathrm{D}}$ 保持简并。但真实器件里，轻微矩形畸变、双晶格位移或工艺各向异性都可能把这对简并打破。教材里最干净的写法，是直接在 $\{\bm{u}_{\mathrm{Y}},\bm{u}_{\mathrm{D}}\}$ 这个二维子空间内写一个微扰矩阵：

\tilde{H}_{\mathrm{deg}} = \left(\omega_0-\kappa_1-\ii\gamma_i\right)\bm{I} + \begin{bmatrix} \delta & \eta \\ \eta & -\delta \end{bmatrix},

其中 $\delta$ 描述两个暗模对某种几何各向异性的不同响应， $\eta$ 描述它们之间被该微扰重新混合的强度。于是新的本征值立刻写成

\tilde{\omega}_{\pm} = \omega_0-\kappa_1-\ii\gamma_i \pm \sqrt{\delta^2+\eta^2}.

这个结果虽然简单，但给出了明确的物理信息：对称性破缺的第一作用，往往是在原来已经存在的简并子空间里把模式重新旋转并拉开，而非立刻“创造一个新模”。若这两个新模对辐射或增益的重叠不再相同，那么它们的损耗排序和偏振稳定性也会随之改变。这对应于第 8 章、第 12 章中“偏振选择”和“模式分裂”在教材例题里的最小落地版本。

例子

取一组纯教学型无量纲数值： $\kappa_1=2$ ， $\kappa_2=1$ ， $\gamma_i=0.5$ ， $\gamma_r=1.5$ 。则

\tilde{\omega}_{\mathrm{B}}=\omega_0+4-\ii 2.0,\quad \tilde{\omega}_{\mathrm{X}}=\omega_0-\ii 0.5,\quad \tilde{\omega}_{\mathrm{Y}}=\tilde{\omega}_{\mathrm{D}}=\omega_0-2-\ii 0.5.

这说明亮模频率最高、法向辐射最强，但其线性阈值也最高。若材料增益峰更接近 $\omega_0-2$ 一侧，或者目标是最先起振而非最亮输出，那么最先获利的模很可能不是亮模。这个结论完全不依赖具体软件，是纸上就能读出的结构性事实。

第四步：这一层玩具模型到底回答了什么

到这里，例题 A 已经完成。它回答了四件实用的事。

第一，它告诉我们完美方格晶格里四个基本波如何重组为亮模和暗模。

第二，它告诉我们模式分裂受哪两类耦合主导：同轴前后向耦合 $\kappa_1$ 和轴间交叉耦合 $\kappa_2$ 。

第三，它告诉我们“亮”不等于“低阈值”，因为亮模通常要支付额外辐射损耗。

第四，它告诉我们对称性破缺首先在简并子空间里起作用，因此偏振选择和模式分裂可以被看成同一个二维微扰问题。

但这一层仍然有明确边界。它没有真实层栈，没有真实三维辐射，没有有限阵列边缘，也没有电流注入和温升。因此它是一个有效的纸上判断器，却还不是器件结论。

给玩具模型补一点数量级感

为了不让 $\kappa_1,\kappa_2,\gamma_i,\gamma_r$ 永远停留在抽象符号层，可以给它们配一个最小数量级直觉。若参考波长取 $\lambda_0\sim\SI{1}{\micro\meter}$ ，则参考角频率约为 $\omega_0=2\pi c/\lambda_0\sim 1.9\times10^{15}\ \mathrm{rad/s}$ 。若某组参数对应相对模分裂

\frac{\Delta\omega}{\omega_0}\sim 10^{-4},

则大致对应 $0.1\ \mathrm{nm}$ 量级的波长分裂；若某模满足

\frac{\gamma}{\omega_0}\sim 10^{-5},

则对应的被动品质因子约为 $Q\sim \omega_0/(2\gamma)\sim 5\times10^4$ 。这种换算的作用，是让读者知道玩具模型里的“一个小参数”落回实验量级后大概代表多大的频移和多大的被动损耗。

第二层例题：数值全流程全解

例题 B 的设定与已知量

现在进入软件建模例题。我们仍然使用方格晶格 air-hole slab PCSEL，但不再停留在抽象四波基底，而是固定一组简化但合理的名义参数：

a=\SI{280}{nm}, \qquad r=0.30a, \qquad t_{\mathrm{pc}}=\SI{160}{nm}, \qquad t_{\mathrm{wg}}=\SI{260}{nm},

t_u=\SI{1.2}{\micro\meter}, \qquad t_d=\SI{1.5}{\micro\meter}, \qquad N_x=N_y=31, \qquad z_{\mathrm{QW}}\approx 0.

它们是一个教学用名义设计点，而非校准后的器件参数。我们的任务不是“报出最终性能”，而是回答：

在这组名义参数下，是否存在值得继续推进的面发射候选模；如果要把这个候选模升级为器件级结论，还必须补哪些证据？

表 26.1 例题 B 的名义参数。所有数值仅用于教材推演，不应被视为某一已校准器件的真实数据库。为避免误读，表中新增“来源/用途”列。
参数	名义值	来源/用途	在例题中的作用
晶格常数 $a$	280 nm	[本书算例]教学名义点	设定平面周期和归一化频率标尺
孔半径 $r$	$0.30a$	[本书算例]教学名义点（与随书 PWEM 脚本一致）	控制单胞傅里叶分量、耦合和辐射趋势
PC 层厚度 $t_{\mathrm{pc}}$	160 nm	[本书算例]教学名义点	影响面内散射和纵向剖面
波导总厚度 $t_{\mathrm{wg}}$	260 nm	[本书算例]教学名义点	决定纵向模与量子阱重叠
上/下包层厚度 $t_u,t_d$	1.2 μm, 1.5 μm	[本书算例]教学名义点	决定上下辐射不对称与导模背景
阵列尺寸 $N_x\times N_y$	$31\times31$	[本书算例]起始尺寸（需收敛复核）	给出有限阵列验证的起点尺寸
量子阱位置 $z_{\mathrm{QW}}$	波导中心附近	[设计意图]提升重叠	使目标纵向模与有源区尽量重合
电极/掺杂设置	上 p、下 n、接触层重掺杂	[工程经验]最小器件背景	为后续电流扩展与热源建模提供最小器件背景

解题前先写定性预期

教材式例题不应从“开软件”开始，而应从“先写预期”开始。对本例，我们先明确四条定性预期。

第一，纵向层栈应支持一个与量子阱区有较好重叠的主要导模，否则平面晶格结果再好也没有意义。

第二，单胞层面应出现 Gamma 点附近的面发射候选模，而且目标模与竞争模在辐射排序上至少要有可解释差异。

第三，有限阵列边界可能改变单胞下看到的排序，因此需要重新审查主模、边缘泄漏和远场。

第四，哪怕纯光学阶段一切良好，电流扩展和热回写仍可能改变目标模的净模裕量。

这四条预期的作用是给后面的每一步都设立“要验证的命题”。这样处理后，仿真就是逐题作答，而非盲扫。

第一步：纵向模检查

题目

在给定层栈下，判断是否存在一个可作为后续 PCSEL 平面建模背景的主要纵向导模。

应建的最小模型

在 Lumerical 路径中，用 MODE/FDE 建立二维横截面层栈；在 COMSOL 路径中，用二维横截面的 Wave Optics 模态模型。无论哪条路线，都要把问题简化成同一个物理任务：求纵向导模、有效折射率和与有源区/损耗层的重叠。

应得到的输出

有效折射率 $n_{\mathrm{eff}}$ ；
纵向场分布 $E(z)$ 或等效模场剖面；
量子阱重叠 $\Gamma_{\mathrm{QW}}$ ；
重掺杂层与金属邻近损耗重叠 $\Gamma_{\mathrm{loss}}$ ；
对 $t_{\mathrm{wg}}$ 、 $t_{\mathrm{pc}}$ 和 $z_{\mathrm{QW}}$ 的局部灵敏度。

例题 B 的可复现一维纵向模。随书脚本对 940nm、总厚度 320nm 的对称弱导层栈求解标量 TE 传输矩阵本征条件，得到 n_eff=3.3609、三个 8nm 量子阱的能量加权重叠 _QW=0.068。红色窄带标出量子阱位置。 — 例题 B 的可复现一维纵向模。随书脚本对 940 nm、总厚度 320 nm 的对称弱导层栈求解标量 TE 传输矩阵本征条件，得到 $n_{\mathrm{eff}}=3.3609$ 、三个 8 nm 量子阱的能量加权重叠 $\Gamma_{\mathrm{QW}}=0.068$ 。红色窄带标出量子阱位置。图 26.2 · 原始 LaTeX/TikZ 图源独立渲染

这一步现在不再只是“应当求一个纵向模”的任务清单。脚本 code/vertical_tmm_mode/run_vertical_tmm_mode.py 的 CSV 保存了 $n(z)$ 与归一化场剖面，JSON 保存了层栈、全部束缚模根和重叠积分。模型仍是无损、标量、一维代理，因此不能给出金属损耗或全矢量偏振混合；它的职责是为后续二维平面模型提供一个可复核的 $n_{\mathrm{eff}}$ 与 $\Gamma_{\mathrm{QW}}$ 起点。

教材式判断

若 $\Gamma_{\mathrm{QW}}$ 本来就很小，说明纵向模式背景设置不合理，此时不应继续扫孔半径。若 $n_{\mathrm{eff}}$ 对层厚极端敏感，说明后续平面设计会非常依赖工艺厚度控制。若 $\Gamma_{\mathrm{loss}}$ 很大，说明电学低电阻与光学低损耗之间的冲突已经很强，后面必须在第 17 章、第 18 章、第 19 章、第 20 章的器件主线上重做权衡。

这一阶段能说什么

可以说“存在一个合理的纵向候选导模”或“不存在”。不能说“器件阈值已经低”。

第二步：单胞候选模筛选

题目

在名义单胞参数下，判断 Gamma 点附近是否有值得继续投入有限阵列验证的面发射候选模。

应建的最小模型

这一阶段建议分成两个子步骤。

先用第 13 章的 PWEM 框架做被动无限周期候选模筛选，必要时可直接调用本项目脚本 code/pwem_square_hole/run_pwem_square_hole.py 作为正方晶格圆孔的第一轮筛选工具；但教学上不应只停在“脚本完成运行”，而应把输出与图 13.4、表 13.2 对照，确认本书示例中的 Gamma 点候选频带大致落在 $\Omega\approx 0.34$ 到 $0.46$ ，其中典型高对称点值包括 $0.3402,0.4074,0.4074,0.4611$ ；
再用 RCWA 或 COMSOL 的三维周期频域单胞模型，检查开放辐射、上下出光比例和偏振趋势。

应得到的输出

Gamma 点附近候选频带所在频段；
候选模的主要对称性和主导傅里叶分量；
上/下辐射比例；
目标模与竞争模的被动损耗排序；
对孔半径和刻蚀深度的局部灵敏度。

教材式判断

若 PWEM 只显示相关频段里没有合适候选模，则无需进入开放单胞。若 PWEM 给出候选模，而 RCWA 显示目标模在开放结构中辐射排序并不占优，则应回到几何与层栈参数重新调整。若单胞结果显示目标模确实有合理的辐射和偏振趋势，那么它才获得进入有限阵列审判的资格。

最小定量筛选门槛

为了把“教材式判断”落实成第一次可执行的筛选动作，至少还应加三条定量门槛。第一，候选模频率应落在目标材料增益峰附近的可接受失谐窗口内，而不是只凭“在同一个大频段里”；第二，目标模相对于最危险竞争模的被动损耗排序，应在小幅孔径、刻蚀深度或层厚扰动下保持不翻转；第三，上下辐射比例和偏振标签应能用前文的对称性与辐射通道语言解释，否则即便数值结果好看，也要先怀疑模式身份是否认对了。

这一阶段能说什么

可以说“该结构在无限周期开放单胞下存在合理候选模”。不能说“有限器件一定单模”。

第三步：有限阵列检查

题目

把单胞里通过初筛的候选模放进有限器件里，检查边缘是否改写模式排序和远场。

应建的最小模型

Lumerical 路径中最自然的是三维 FDTD；COMSOL 路径中最自然的是三维 Wave Optics 频域或本征频率研究，并辅以 PML。 $31\times31$ 阵列在本章是[本书算例]起点，不是通用最优尺寸；必须至少对邻近尺寸做一次收敛与边缘敏感性检查。

应得到的输出

有限阵列主模与竞争模的排序；
近场分布与边缘泄漏位置；
远场主瓣、旁瓣和偏振趋势；
阵列尺寸、PML 和网格变化后的稳定性。

教材式判断

如果目标模在单胞中很好，但在有限阵列中出现强边缘泄漏或排序反转，那么单胞结论已经失效。此时最合理的动作是先承认“无限周期不等于有限器件”这一关还没过，而非急着引入增益。若有限阵列中目标模仍占优，而且远场和偏振保持合理，则纯光学证据链进一步加强。

这一阶段能说什么

可以说“在给定名义阵列尺寸下，纯光学有限器件支持某个优势候选模”。不能说“器件阈值电流已知”。

第四步：简化电学与热学回写

题目

判断在真实电极、注入与温升参与后，纯光学候选模是否仍保持净优势。

应建的最小模型

Lumerical 路径中，用 CHARGE 解简化漂移-扩散与泊松问题、用 HEAT 解温度场；COMSOL 路径中，用 Semiconductor 与 Heat Transfer 完成同样任务。这里不追求一上来就做全耦合，而是先做一个简化回写代理： enumerate 用简化截面或对称几何得到 $J(\rvec)$ 、 $N(\rvec)$ ；由 Joule 热和非辐射复合得到 $T(\rvec)$ ；把 $N$ 与 $T$ 映射成 $\Delta g(\rvec)$ 、 $\Delta n(\rvec)$ 和 $\Delta \alpha(\rvec)$ ；再用这些空间分布回写光学模型，比较目标模和竞争模的净模裕量。 enumerate

应得到的输出

enumerate 电流密度分布 $J(\rvec)$ ；载流子分布 $N(\rvec)$ ；温度分布 $T(\rvec)$ 与热点位置；回写后的目标模净裕量变化趋势；目标模与竞争模是否发生排序翻转。 enumerate

教材式判断

若 $J(\rvec)$ 与目标模主场区域明显错位，说明“光学模场合理”不等于“器件注入合理”。若 $T(\rvec)$ 在边缘或金属邻近区形成热点，而回写后竞争模获益更多，则说明纯光学阶段的优势还不能升级为器件结论。只有当简化回写后目标模仍保持足够净裕量，才可以开始谈器件级可行性的初步证据。

这一阶段能说什么

可以说“在该简化电热代理模型下，目标模在工作窗口内仍保持/不保持优势”。仍然不能说“绝对阈值电流、线宽和功率已经被完全预测”。

给例题 B 补一页可核对的“实算结果页”

前面各步已经说明了“应该产出什么”。为了让本章不只像执行模板，而更像可跟做的教材例题，这里把本题已经固定下来的教学值、脚本实算值和验收窗口集中成一张结果页。需要强调，下面的数字分三类：一类来自本项目已附带的 PWEM 脚本实算；一类来自本章名义层栈下的教学代理值；还有一类是有限阵列与电热回写阶段的验收窗口，而不是高保真器件终值。

ReportingStandardBox 本章算例 provenance（可复核元数据） itemize PWEM：code/pwem_square_hole/run_pwem_square_hole.py；输入来自脚本内 PARAMS 字典（ $r/a=0.30$ , $\varepsilon_b=3.4^2$ , cutoff=2, bands=6, points_per_segment=16）；输出为 summary JSON 与能带 CSV。 纵向 TMM：code/vertical_tmm_mode/run_vertical_tmm_mode.py；输入为 940 nm、 $n_{\mathrm{clad}}=3.30$ 、320 nm 对称层栈与三个 8 nm 量子阱；输出为场剖面 CSV、summary JSON 与 PDF 图。 PWEM 文件哈希（SHA256）：脚本 31515F62...30FF7；summary 1045867A...7A266；csv 4836CB7E...A38D2 口径说明：上述实算值属于[本书算例]，用于教学复核与数量级锚定；若脚本或参数改动，需同步更新结果页窗口和可追溯元数据。 itemize ReportingStandardBox

表 26.2 例题 B 的“实算结果页”。这里把脚本实算、教学代理值和验收窗口并排列出，目的是给第一次独立做题的读者提供数量级与判错锚点，而不是伪造完整器件终值。
中间量	本题采用/得到的数值	来源/身份	读者应如何使用
$n_{\mathrm{eff}}$	$3.3609$	一维标量 TE-TMM 脚本实算值	作为后续二维平面筛选的有效折射率起点，并用全矢量层栈模型复核
$\Gamma_{\mathrm{QW}}$	$0.068$	TMM 能量加权重叠实算值	说明三个量子阱位于纵向主场区；更换层厚或阱位后必须重算
$\Gamma_{\mathrm{loss}}$	$\approx 0.005$ -- $0.02$	[本书算例]名义损耗重叠窗口	若与 $\Gamma_{\mathrm{QW}}$ 同量级甚至更大，后续器件阈值通常会明显吃亏
$\Omega_{\Gamma}^{(2,3,4,5)}$	[c] $0.3402,\ 0.4074,$ $0.4074,\ 0.4611$	PWEM 脚本实算值	用于锁定单胞筛选频窗，并核对高对称点简并是否正确
单胞候选频窗	$\Omega\approx 0.34$ -- $0.46$	由 PWEM 实算反推的 RCWA 频窗	不再盲扫全频段，而是围绕候选模族做开放单胞精修
有限阵列起始尺寸	$31\times31$	本题显式给定	至少再与相邻尺寸做一次主模排序与远场收敛比较
有限阵列验收	目标模近场主峰居中、边缘泄漏不主导；远场主瓣保持中心集中特征	教学验收窗口	若一换尺寸/PML/网格就翻转，说明当前还不能进入电热回写
电热回写验收	$J(\rvec)$ 与目标模高场区不严重错位； $T(\rvec)$ 热点不把竞争模推成净裕量更大	教学验收窗口	这里建立的是“初步器件可行性”，不是绝对 $I_{\mathrm{th}}$ 与线宽

若把表 26.2 与前文四个阶段对照起来，可以看到本章现在至少已经给出了两类对新手最关键的信息。第一类是真的可核对的数字，例如 PWEM 脚本在高对称点输出的归一化频率；第二类是一旦偏离就应该立刻停下排查的窗口，例如 $\Gamma_{\mathrm{QW}}$ 太小、 $\Gamma_{\mathrm{loss}}$ 过大、有限阵列结果对尺寸/PML 过敏等。对第一次独立上手的读者来说，这比只知道“要算哪些量”更有用，因为它把“算对了大概长什么样”也写出来了。

表 26.2 故意没有给出绝对阈值电流、绝对线宽或高功率热滚降数字。原因是因为这些量若没有完整增益标定、接触参数、热边界与实验回验，就不应被伪装成“本题已经算完的终值”，而非本章回避结果。本章给出的，是一张足够教材化的中间结果页，而不是一份冒充器件定量预测的表。

第五步：把中间结果收束成一张教材式汇总表

到了这里，最重要的教学动作是学会把中间结果整理成一张读者可以复用的判断表，而非继续堆更多输出。表 26.3 给出这道题的答案格式。如果把本章当成对第 25 章的一次完整执行，那么这张表就是工作流阶段 A--G 在一个具体算例中的投影；若再与表 25.1、表 26.4 对照阅读，就能立刻看出每一条中间量在失败诊断里对应哪一类风险。

表 26.3 例题 B 的中间结果汇总表。表中是规定每一步必须产出的输出类型、可做的判断和结论边界，而非伪造终值。
步骤	必须产出的中间量	现在可以做的判断	现在还不能做的判断
纵向模	$n_{\mathrm{eff}}$ 、 $\Gamma_{\mathrm{QW}}$ 、 $\Gamma_{\mathrm{loss}}$ 、层厚灵敏度	外延层是否提供了合理光学模式背景	阈值电流、器件功率
单胞筛选	Gamma 点候选模、被动辐射排序、上下出光比例、偏振趋势	是否存在值得继续推进的候选模	有限器件一定单模
有限阵列	主模排序、近场、远场、边缘敏感性、尺寸收敛	无限周期结论是否在有限器件中仍成立	电注入后的真实工作模
电热回写	$J(\rvec)$ 、 $N(\rvec)$ 、 $T(\rvec)$ 、 $\Delta g$ 、 $\Delta n$ 、净裕量变化	纯光学候选模在简化器件代理下是否仍占优	绝对阈值电流、线宽、老化寿命

这一章到底给出了哪些“可靠结论”

教材式例题的最后一步，是把结论分层说清，而非再出一张图。

在本章范围内可以可靠建立的判断

itemize 通过玩具模型，可以可靠理解四个基本波如何分裂成亮模与暗模，以及为什么亮模不一定最先跨过线性阈值。通过纵向模与单胞筛选，可以可靠判断名义层栈是否提供了合理的导模背景，以及 Gamma 点附近是否存在值得继续投入的候选模。通过有限阵列检查，可以可靠判断单胞下的排序是否在给定尺寸范围内仍成立，远场与边缘泄漏是否已经出现明显问题。通过简化电热回写，可以可靠判断“纯光学优势是否在最小器件代理下仍然保留”。 itemize

还不能被本章完全关闭的判断

itemize 绝对阈值电流仍需要经过材料增益、接触电阻、真实电流扩展和热阻校准。连续波高功率工作时的热滚降、模式跳变和封装相关效应仍需要更高保真度模型。线宽和相干性仍需要噪声模型，而不是仅靠确定性全波或多物理场解。大批量工艺可制造性仍需要第 22 章的 tolerance analysis 和 robustness window 报告。 itemize

哪些问题最终必须交给实验回写链

itemize 材料增益模型是否与真实外延片一致；金属接触、电流扩展层和热边界条件的真实参数；表面粗糙、孔径偏差和阵列边缘截断的统计分布；实际工作偏振、远场和阈值电流是否与模型趋势相符。 itemize 这并不意味着仿真不重要。恰恰相反，仿真的价值在于把实验回写链的问题压缩成少数清楚、可检验的命题，而不是让实验在一团没有层次的参数空间里摸索。

本章最应该保留下来的纪律是：纯光学结果只能建立“候选性”，简化电热回写只能建立“初步器件可行性”，器件级定量结论仍需要更高保真度模型和实验回写链。这是对证据层级的严格区分，而非保守。

把例题映射回工作流与失败模式

完成计算后，再把答案放回全书框架：第 25 章给出正向项目骨架，第 27 章给出反向诊断骨架，本章位于两者之间。表 26.4 适合在做完例题后使用，用来核对每一步增加了哪类证据，以及走错时最可能落入哪种误判。

表 26.4 本章双层例题在工作流与失败模式框架中的对应关系。
本章步骤	对应工作流阶段	本章要产出的核心证据	若走错，最容易落入的失败模式
玩具模型：四波 CWT 纸上分析	A/B 之前的概念压缩	模式分裂、辐射排序与最小阈值判断的物理图像	把亮模直接等同于最低阈值模；把最小模型结论过度外推到真实器件
数值第一步：纵向模检查	A	$n_{\mathrm{eff}}$ 、 $\Gamma_{\mathrm{QW}}$ 、 $\Gamma_{\mathrm{loss}}$ 与层栈敏感性	把不合理层栈带入后续所有光学步骤；误用 effective index
数值第二步：单胞候选模筛选	B/C	Gamma 点候选模、被动辐射排序、偏振趋势、上下辐射不对称	把被动单胞排序直接读成器件排序；把被动共振当有源阈值
数值第三步：有限阵列检查	D	有限尺寸下的主模排序、近场、远场与边缘敏感性	把无限周期结论直接外推到有限器件；阵列尺度未收敛
数值第四步：简化电热回写	E/F	$J(\rvec)$ 、 $N(\rvec)$ 、 $T(\rvec)$ 与目标模净裕量变化	把均匀增益当真实注入；忽略热点导致的模式翻转
最终汇总与结论分层	G	哪些判断已可靠、哪些仍需实验回写链	越级报告阈值电流、线宽或长期稳定性

回看本章

这一章把例题从“任务清单”升级成了“双层例题”。第一层玩具模型在纸上完成了四波 CWT 的模式分裂、损耗排序和简并破缺，因此读者能够理解 Gamma 点候选模为什么会亮、为什么会分裂、为什么亮模不一定最先激射。第二层数值全流程例题则把同一个问题依次推进到纵向模、单胞筛选、有限阵列验证和简化电热回写，并在每一步明确输出类型、判断边界和未决问题。掌握这一章的标志，是学会：每做一步计算，都知道它增加了哪一层证据，而非记住某一组数字；每下一个结论，都知道它还缺哪一层证据。若把第 25 章视为正向项目骨架，那么本章就是一次完整执行；若再把第 27 章视为反向审计骨架，那么本章的每一步都应能够被逐项回查。

练习题

enumerate [基础] 在玩具模型中，若把辐射损耗矩阵改成同时作用于 $\bm{u}_{\mathrm{B}}$ 和 $\bm{u}_{\mathrm{X}}$ ，请重新写出本征值，并解释这对应了怎样的辐射物理图像。

[基础] 设 $\kappa_2$ 从正变负，讨论亮模与 $X$ 模的频率排序如何改变，并说明这意味着哪一类几何傅里叶分量可能发生了主导变化。

[进阶] 按本章的格式，为你自己的器件写一张“中间结果汇总表”，并明确指出每一步不能越级宣称什么。

[综合] 说明为什么本章即便完成了简化电热回写，也仍不能在没有实验校准的情况下报告绝对阈值电流和线宽。 enumerate

延伸阅读

itemize 先回到第 25 章，把表 25.1、表 26.4 对照阅读，可把本章例题逐步映射回完整项目工作流，理解玩具模型、全波仿真和器件模型各自在流程中的职责。

再结合第 22 章、第 27 章阅读，可把本章例题继续扩展成“名义设计 + tolerance analysis + 失败模式诊断”的完整项目模板，并用失败模式章对本章每一阶段做反向自检。 itemize

教材式例题：从玩具模型到完整建模框架

读完本章，你应能#

读前准备#

本章结构#

第一层例题：纸上可完成的四波 CWT 玩具模型#

例题 A 的设定#

第一步：把矩阵换到对称性基底#

第二步：读出模式分裂和损耗排序#

第三步：在简并子空间中加入一个最小对称性破缺#

第四步：这一层玩具模型到底回答了什么#

给玩具模型补一点数量级感#

第二层例题：数值全流程全解#

例题 B 的设定与已知量#

解题前先写定性预期#

第一步：纵向模检查#

题目#

应建的最小模型#

应得到的输出#

教材式判断#

这一阶段能说什么#

第二步：单胞候选模筛选#

题目#

应建的最小模型#

应得到的输出#

教材式判断#

最小定量筛选门槛#

这一阶段能说什么#

第三步：有限阵列检查#

题目#

应建的最小模型#

应得到的输出#

教材式判断#

这一阶段能说什么#

第四步：简化电学与热学回写#

题目#

应建的最小模型#

应得到的输出#

教材式判断#

这一阶段能说什么#

给例题 B 补一页可核对的“实算结果页”#

第五步：把中间结果收束成一张教材式汇总表#

这一章到底给出了哪些“可靠结论”#

在本章范围内可以可靠建立的判断#

还不能被本章完全关闭的判断#

哪些问题最终必须交给实验回写链#

把例题映射回工作流与失败模式#

回看本章#

练习题#

延伸阅读#

PCSEL 理论、仿真与器件物理导论

读完本章，你应能

读前准备

本章结构

第一层例题：纸上可完成的四波 CWT 玩具模型

例题 A 的设定

第一步：把矩阵换到对称性基底

第二步：读出模式分裂和损耗排序

第三步：在简并子空间中加入一个最小对称性破缺

第四步：这一层玩具模型到底回答了什么

给玩具模型补一点数量级感

第二层例题：数值全流程全解

例题 B 的设定与已知量

解题前先写定性预期

第一步：纵向模检查

题目

应建的最小模型

应得到的输出

教材式判断

这一阶段能说什么

第二步：单胞候选模筛选

题目

应建的最小模型

应得到的输出

教材式判断

最小定量筛选门槛

这一阶段能说什么

第三步：有限阵列检查

题目

应建的最小模型

应得到的输出

教材式判断

这一阶段能说什么

第四步：简化电学与热学回写

题目

应建的最小模型

应得到的输出

教材式判断

这一阶段能说什么

给例题 B 补一页可核对的“实算结果页”

第五步：把中间结果收束成一张教材式汇总表

这一章到底给出了哪些“可靠结论”

在本章范围内可以可靠建立的判断

还不能被本章完全关闭的判断

哪些问题最终必须交给实验回写链

把例题映射回工作流与失败模式

回看本章

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