总览与电磁基础

光子能带基础、Gamma 点物理与模选择

读完本章，你应能

从零理解什么是光子晶体能带，明确它为什么是周期 Maxwell 本征问题的结果，而不是一张“频率随波矢变化”的普通曲线图。
准确区分光子晶体能带与半导体材料电子能带，理解二者的联系、差异和在 PCSEL 中重新相遇的位置。
学会阅读能带图，知道应该看哪些信息，哪些信息不能从能带图中直接读出。
弄清楚 $\Gamma$ 点、带边、简并、辐射耦合、被动共振模和真实激射模之间的关系。
为第 13 章的平面波展开法（PWEM）与后续 RCWA/FDTD/FEM 建模建立清晰的概念入口。

读前准备

建议已掌握第 3 章、第 4 章中关于开放 Maxwell 问题、Bloch 定理、布里渊区和 slab 近似的内容。

阅读主线

本章所处模型层级：L1

上一章已经说明，二维周期结构中的场是按照 Bloch 波矢和对称性组织起来，而非随意分布的。现在自然要追问：既然每一个 Bloch 波矢都对应一组允许模式，那么把这些模式的本征频率沿倒空间路径排出来之后，我们到底得到了什么？这就是光子能带。为避免新手把能带图误读成器件工作图，本章先从能带的最基础概念讲起，解释它和电子能带在数学上相似、在物理上又有哪些关键区别；随后用一个正方晶格圆孔二维光子晶体的最小例子建立直觉，说明高对称路径、归一化频率和带隙是什么意思；再专门讲“怎么看能带图”，把群速度、简并、带边、光锥与 PCSEL 候选模筛选联系起来；最后明确指出：能带图只能给出候选模目录，不能直接给出阈值电流、热稳定性和真实激射模。第 13 章将把这里的概念完全落实到 PWEM 计算流程中。

为什么在 Bloch 之后必须讲能带

Bloch 定理告诉我们，若介质在平面内满足周期性，那么模式可按波矢 $\kvec$ 分类。到这里为止，我们已经知道怎样给无限周期结构中的候选模“命名”。但命名还不够。接下来必须知道，在每一个 $\kvec$ 处，到底允许哪些本征频率出现；随着 $\kvec$ 变化，这些频率怎样连续演化；在哪些高对称点会出现简并、分裂和平带。把这些问题合在一起，得到的就是光子能带结构。

因此，能带图是参数化本征值问题的可视化。参数是 Bloch 波矢，输出是本征频率。难点不在于这个定义本身，而在于它在 PCSEL 里意味着什么。很多初学者一看到能带图，就会下意识地问“哪条带最适合器件工作”“哪条带最低阈值”。这个问题跨越了模型层级。能带图首先回答的是哪些模式可作为候选，而不是哪一支最终激射。

先把两个“能带”分开：材料电子能带与光子晶体能带

“能带”这个词在 PCSEL 教材里会反复出现，但它至少指向两类不同对象。第一类是半导体材料的电子能带：电子和空穴在原子周期势、异质结台阶、量子阱与应变作用下形成的可占据能级结构。它决定带隙、载流子束缚、跃迁能量、TE/TM 增益和温度漂移。第二类是光子晶体的光子能带：电磁场在介电常数周期调制中形成的允许模式频率结构。它决定 Bloch 模、带边、群速度、带隙、辐射通道和 PCSEL 的候选腔模。

两者的联系是真实的：它们都来自周期算符，都可用 Bloch 定理把无限周期问题分解成由波矢标记的本征问题；带隙也都可从 Bragg 散射、简并解除和本征值分裂的角度理解。因此，固体物理中的电子能带直觉对理解光子晶体很有帮助。

但两者的差异同样关键。材料电子能带的本征值是能量 $E_n(\kvec)$ ，本征态会被电子按费米统计占据；光子晶体能带的本征值是频率 $\omega_n(\kvec)$ ，描述的是电磁模式是否允许存在、如何传播、如何辐射，并不表示某些“光子态已经被填满”。更直白地说：电子能带回答“载流子能待在哪里、如何跃迁”，光子能带回答“电磁场能以什么模式存在、如何反馈和出光”。

材料电子能带与光子晶体光子能带的联系和区别。二者共同依赖周期性与 Bloch 定理，但本征对象、纵轴物理量、占据意义和器件作用不同。对 PCSEL 而言，材料电子能带主要通过量子阱增益峰、载流子限制和偏振增益进入问题；光子晶体能带则通过 Γ 点候选模、带边平坦度、光锥和辐射通道进入问题。真实激射只有在这两条链与损耗、注入、热反馈同时匹配时才出现。 — 材料电子能带与光子晶体光子能带的联系和区别。二者共同依赖周期性与 Bloch 定理，但本征对象、纵轴物理量、占据意义和器件作用不同。对 PCSEL 而言，材料电子能带主要通过量子阱增益峰、载流子限制和偏振增益进入问题；光子晶体能带则通过 $\Gamma$ 点候选模、带边平坦度、光锥和辐射通道进入问题。真实激射只有在这两条链与损耗、注入、热反馈同时匹配时才出现。图 5.1 · 原始 LaTeX/TikZ 图源独立渲染

表 5.1 本书中两类“能带”的最小辨析表。
对比项	半导体材料电子能带	光子晶体光子能带
控制方程	周期势场中的 Schr\"odinger / $k\cdot p$ / 有效质量方程	周期介电结构中的 Maxwell 本征方程
本征对象	电子、空穴波函数或包络函数	电磁场分布 $\E_{n\kvec},\Hf_{n\kvec}$
纵轴物理量	能量 $E$ ，常以 eV 表示	频率 $\omega$ 或归一化频率 $\Omega=a/\lambda$
占据意义	有费米能级、载流子分布、Pauli 排斥和准费米能级分离	无费米面和“填满”的概念；重点是模式存在、传播、驻留与辐射
PCSEL 中的角色	决定量子阱增益峰、带阶、载流子泄漏、TE/TM 增益和温度敏感性	决定候选 Bloch 模、 $\Gamma$ 点带边、群速度、光锥耦合和面内反馈
典型误读	把光子晶体带隙误当成半导体材料带隙	把一条漂亮的光子能带直接当成最终激射模

在本书中，若讨论“量子阱能带”“导带/价带台阶”“准费米能级分离”，默认指材料电子能带，详见第 17 章、第 18 章、第 19 章。若讨论“ $\Gamma$ 点带边”“光子带隙”“光锥”“PWEM 能带图”，默认指光子晶体能带。PCSEL 的难点恰恰在于二者不能割裂：光子能带给出一个候选光学频率，材料电子能带必须在同一频率附近提供足够净增益，最后还要通过有限尺寸、注入和热反馈检验。

什么是光子晶体能带

设周期 Maxwell 本征问题写成

\hat{\mathcal M}(\kvec)\,\Psi_{n\kvec} = \omega_n(\kvec)\,\Psi_{n\kvec},

其中 $\hat{\mathcal M}(\kvec)$ 表示在给定 Bloch 波矢 $\kvec$ 下的本征算符， $\Psi_{n\kvec}$ 代表第 $n$ 条本征模， $\omega_n(\kvec)$ 是对应本征频率。对于每一个固定的 $\kvec$ ，通常存在一串离散本征值；把这些本征值在倒空间中连续追踪，就得到一组函数 $\omega_n(\kvec)$ 。每一个这样的函数分支就称为一条光子能带（photonic band）。

与上一节的辨析对应，这里的“带”是 Maxwell 模式目录，而非载流子占据带。它受介电常数的空间周期、极化、矢量性和开放辐射边界共同控制。特别是对 PCSEL 的 slab 结构而言，光锥和垂直辐射通道会让某些带与自由空间耦合，材料电子能带图中没有这一开放辐射对应物。

光子晶体能带常采用归一化频率表示，而不是用绝对能量。最常见的写法是

\Omega = \frac{\omega a}{2\pi c} = \frac{a}{\lambda},

其中 $a$ 是晶格常数， $\lambda$ 是真空波长。式 (5.2) 的根源是 Maxwell 方程的几何相似性：若将结构所有尺寸按比例缩放 $\rvec\to s\rvec$ ，而材料分布不变，则频率必须按 $\omega\to\omega/s$ 缩放，从而无量纲量 $\omega a/c$ 保持不变。这意味着同一张 $\Omega$ - $\kvec$ 能带图可直接用于任意尺度的几何相似结构，只需把 $\Omega$ 换算回实际 $a/\lambda$ 即可。

使用该定义时，应能在归一化频率与实际几何尺度之间互相换算。比如若某一候选模对应

\Omega = 0.29,

而目标真空波长是 966 nm，则需要的晶格常数约为

a = \Omega \lambda \approx 0.29\times \SI{966}{nm}\approx \SI{280}{nm}.

反过来，若先给定 $a=\SI{280}{nm}$ ，则这条归一化频率对应的目标波长就是

\lambda = \frac{a}{\Omega}\approx \frac{\SI{280}{nm}}{0.29}\approx \SI{966}{nm}.

因此能带图虽然看上去无量纲，却能直接服务于器件几何尺寸的前期反推。

一个一维玩具模型：带隙为什么会打开

为说明周期耦合如何打开带隙，可先看一维 nearly-free-photon 模型。设介电函数只含一个主导傅里叶分量

\varepsilon(x)=\bar{\varepsilon}+\Delta\varepsilon_G \ee^{\ii Gx}+\Delta\varepsilon_{-G}\ee^{-\ii Gx},

并考虑接近布里渊区边界 $k\approx G/2$ 的两支平面波

\ee^{\ii kx},\qquad \ee^{\ii(k-G)x}.

在这一最小两波基底里，周期调制把原本简并的两支平面波耦合成一个 $2\times 2$ 本征问题：

\begin{bmatrix} \bar{\omega}(k) & \kappa \\ \kappa^\ast & \bar{\omega}(k-G) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix} = \omega \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}.

这里的 $\kappa$ 是周期介电调制在这两支反向波之间产生的矩阵元，而非凭空命名的常数；在这个最小玩具模型里，它正比于主导 Fourier 分量 $\Delta\varepsilon_G$ 与两支基波的重叠。

在精确 Bragg 条件 $k=G/2$ 处，两条未耦合频率相等，记为 $\bar{\omega}_B$ 。此时耦合系数可以用介电函数的主导 Fourier 分量显式估计：对 $\varepsilon(x)=\bar\varepsilon+2\Delta\varepsilon\cos(Gx)$ ，两波基底 $\{e^{\ii kx},e^{\ii(k-G)x}\}$ 之间的矩阵元为

\kappa = \frac{\omega_B^2}{2\bar k^2 c^2}\,\Delta\varepsilon \approx \frac{\Delta\varepsilon}{2\bar\varepsilon}, \qquad \bar k^2=\frac{\omega_B^2\bar\varepsilon}{c^2}.

因此带隙宽度

\Delta\omega_{\mathrm{gap}} = 2|\kappa| \approx \frac{\omega_B\Delta\varepsilon}{\bar\varepsilon} = \omega_B\frac{\Delta n}{\bar n},

这里最后一步使用 $\Delta\varepsilon\approx 2\bar n\Delta n$ 。这说明带隙与折射率对比度成正比，也解释了为何高折射率对比结构的带隙更宽。

此时本征值来自特征行列式

\det \begin{bmatrix} \bar{\omega}_B-\omega & \kappa \\ \kappa^\ast & \bar{\omega}_B-\omega \end{bmatrix} = (\bar{\omega}_B-\omega)^2-|\kappa|^2 =0.

于是本征值直接分裂为

\omega_{\pm}=\bar{\omega}_B \pm |\kappa|.

这就是带隙最朴素的来源：原先在区边界相遇的两支反向波，不再直接穿过，而是因周期耦合而分裂成上下两支。更进一步，耦合强度 $|\kappa|$ 与介电函数的主导傅里叶分量成正比，因此带隙宽度满足

\Delta\omega_{\mathrm{gap}} \propto |\Delta\varepsilon_G|.

后面二维 PCSEL 的带隙、Gamma 点分裂和耦合波矩阵会包含更多通道，但基本机制相同：原本简并或近简并的平面波分量，被周期结构的傅里叶分量耦合并分裂。

$\Gamma$ 点四带与 ABCD 模式分类

对 PCSEL 来说，最核心的能带特征出现在布里渊区中心 $\Gamma$ 点。本节解释 $\Gamma$ 点处四条带边模（A、B、C、D）的起源与物理含义 [Liang et al., 2012]。完整的 PWEM 矩阵本征问题推导、圆孔傅里叶系数的 Bessel 表达式以及二维等效模型的 slab 修正，统一放在第 13 章；本章只需要它们的两个输出： $\Gamma$ 点附近的候选带边频率，以及各支带边模由哪四个平面波分量构成。

对称性速成

对称性速成：如何用点群快速分类 PCSEL 模式

初次接触 $A_1$ 、 $B_1$ 、 $E$ 这些符号时，容易觉得抽象。其实它们的物理含义非常直观，而且可以直接用来预测模式的辐射特性和简并度。下面用最直白的语言解释如何快速上手。

第一步：认清你的晶格属于哪个点群

对方波晶格圆孔或方孔，若晶胞完美正方形且无倾斜变形，则属于 $C_{4v}$ 点群（也叫 4mm 群）。这个群有 8 个对称操作：

恒等操作 $E$ （什么都不做）
绕中心旋转 $90^\circ$ ( $C_4$ )、 $180^\circ$ ( $C_2$ )、 $270^\circ$ ( $C_4^3$ )
对两个对角线镜面反射 ( $\sigma_v$ )
对两条中线镜面反射 ( $\sigma_d$ )

关键是：如果一个模式在经过这些操作后保持某种一致的行为，就可以给它贴上对应的不可约表示（irrep）标签。

第二步：看懂特征标表的三行核心信息

$C_{4v}$ 的特征标表有三类重要的不可约表示：

tabularc|ccccc|c $C_{4v}$ & $E$ & $2C_4$ & $C_2$ & $2\sigma_v$ & $2\sigma_d$ & 典型基函数

$A_1$ & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & $z$ , $x^2+y^2$

$B_1$ & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & $x^2-y^2$

$E$ & 2 & 0 & -2 & 0 & 0 & $(x,y)$ , $(xz,yz)$

tabular

表中数字的含义是：当你对该模式施加某个对称操作后，它的场分布会乘以这个数字（特征标）。例如：

$A_1$ ：所有操作都是 +1，说明这个模式对所有对称操作都完全对称。它在数学上类似于 s 轨道，远场通常是圆形主瓣。
$B_1$ ：对 $90^\circ$ 旋转变号（-1），但对 $180^\circ$ 又变回 +1。这意味着它具有四叶草形状的近场，相邻象限反相。它在数学上类似于 $d_{x^2-y^2}$ 轨道。
$E$ ：这是二维表示（特征是 2 维矩阵而非单个数字），对应一对简并的模式。它们在数学上类似于 $(p_x,p_y)$ 轨道，天然支持定向辐射。

第三步：用对称性预测辐射特性

一旦你知道某个模式属于哪个 irrep，就能立即回答几个关键问题：

是否简并？一维表示（ $A_1$ 、 $B_1$ ）意味着非简并单模；二维表示（ $E$ ）意味着必然存在一对简并模。这对设计单模激光器至关重要——如果你想避免模式竞争，就要选一维表示的模式。
能否法向辐射？根据互易定理，只有那些与自由空间平面波具有相同对称性的模式才能有效耦合到法向。 $A_1$ 模式因为全对称，原则上可以辐射，但在某些特定结构（如纯二阶光栅）中可能因相位抵消而被抑制。 $B_1$ 模式由于四象限反相，exact $\Gamma$ 点的法向辐射会被对称性严格禁止（这就是 BIC 的来源）。 $E$ 模式天然是亮模。
偏振特性如何？ $A_1$ 和 $B_1$ 都是一维不可约表示（非简并）；其中 $A_1$ 是全对称表示， $B_1$ 具有 $x^2-y^2$ 型各向异性。 $E$ 模的两个简并分量可以组合成任意方向的线偏振，满足相位条件时也可形成圆偏振。

第四步：理解对称性破缺的后果

实际器件往往不会完美保持 $C_{4v}$ 对称性。常见的对称性降低场景包括：

椭圆孔：从 $C_{4v}$ 降到 $C_{2v}$ ，此时 $E$ 双重态会分裂成两个非简并的单重态（通常标记为 $A_1$ 和 $B_1$ 在新群下），这就解释了为什么椭圆化可以实现单模。
矩形晶格：同样破坏四重旋转对称性，解除 $E$ 模简并。
倾斜入射或非零 $k_{\parallel}$ ：离开 $\Gamma$ 点后，对称性进一步降低，原本禁戒的辐射通道可能被打开。

记住一条黄金法则：对称性越高，简并越强，选择定则越严；对称性越低，简并解除，原来禁戒的过程可能被允许。

实战技巧

在实际读论文或分析仿真结果时，可以用以下方法快速识别模式的 irrep：

看近场：数一下有几个"花瓣"，相邻花瓣是否反相。0 节点圆对称= $A_1$ ；4 叶片且邻瓣反相= $B_1$ ；双叶片且有方向性= $E$ 。
看远场：圆形主瓣可能是 $A_1$ ；十字形或四瓣形可能是 $B_1$ ；双瓣定向辐射很可能是 $E$ 。
看色散：如果在 $\Gamma$ 点有两支模频率完全重合，那几乎肯定是 $E$ 双重态。
做微扰：故意加一点椭圆度，如果某支模立刻分裂成两支，原来的那个就是 $E$ 模。

最后需要说明：对称性是分类工具，不是器件约束的全部。实际器件总会包含对称性破缺因素；掌握理想分类，有助于判断偏离的来源以及如何利用这种偏离。

$\Gamma$ 点四带的起源与 ABCD 分类

在正方晶格二阶 Bragg 条件附近， $\Gamma$ 点处存在四支带边模，按频率从低到高通常标记为 A、B、C、D [Liang et al., 2012]。这四支模来自四个主导波分量 $(\pm\betaslab,0)$ 和 $(0,\pm\betaslab)$ 之间的相干耦合重组。在 $C_{4v}$ 对称群框架下，它们对应不同的不可约表示，辐射特性也截然不同：

模式 A、B（频率较低的两支非简并模）：更准确地说，A 模对应 $B_1$ （具有 $x^2-y^2$ 类变换特征），B 模对应 $A_1$ （全对称）；它们都不应被简化成“关于孔中心反对称”这一句。对模式判据而言，关键是 irrep 标签（ $B_1/A_1$ ）而不是口语化形容词。二者在 exact $\Gamma$ 附近与法向自由空间平面波的直接耦合通常受对称性抑制，辐射损耗 $\alpha_{\rm rad}$ 相对较小，对应 1D-DFB 激光器中的非辐射模类比；这两支模更容易先达到阈值，是 PCSEL 最常利用的候选激射模。
模式 C、D（频率较高的简并对）：属于 $E$ 表示，对称性允许直接法向辐射，辐射损耗较大，对应 1D-DFB 中的对称（辐射）模类比。

这里还必须再加一层命名边界。A/B/C/D 首先是带图里的分支标号，它的作用是让读者在某一篇具体文献里快速认出“哪一支是哪一支”；而 $A_1/B_1/E$ 等则是 little group 下的对称性标号。两者相关，但不是同一套语言。更稳妥的表述应是：某篇文章中的某一支 A、B、C 或 D 带边家族，因为其 irrep、辐射损耗和增益重叠更有利而成为优选模；而不能把“叫作 A 的那支”误解成跨文献永远最优。

若采用本书第 10 章的最小四波基底与标准频率排序，则这四支分支和 $C_{4v}$ 不可约表示之间可作如下对应：低频两支 singlet 分别对应 $B_1$ 与 $A_1$ ，高频两支构成同一个 $E$ doublet，因此常写作

\text{A}\leftrightarrow B_1,\qquad \text{B}\leftrightarrow A_1,\qquad \text{C/D}\leftrightarrow E.

表 5.2 本书采用的 ABCD 模标注与 $C_{4v}$ 不可约表示的标准对应关系。后续所有章节在引用模式标注时，应优先使用 irrep 标签（ $A_1,B_1,E$ ）； A/B/C/D 仅作为带边分支序号使用，且在不同文献中可能因频率排序而互换。
模标注	$C_{4v}$ irrep	频率相对高低	法向辐射特征
A	$B_1$	最低	symmetry-protected dark（BIC 候选）
B	$A_1$	次低	symmetry-protected dark（BIC 候选）
C	E	较高（简并对）	亮模，direct normal radiation
D

这一定义的重点不在于”哪一支永远叫 A”，而在于给出一条可复用的接口：后文若要判断 BIC、偏振分裂或法向辐射允许性，应用作选择定则判据的是 $A_1/B_1/E$ 这些 irrep 标签，而不是 A/B/C/D 这种文献内排序标签。若某篇文献因孔形、频率排序或记号习惯交换了 A 与 B，只要 singlet/doublet 与 irrep 的关系保持一致，后续的对称性判断并不会改变。

需要强调的是，这里的辐射损耗大小排序仍然是二维无限周期的结论。进入真实三维有限尺寸器件后，上下辐射不对称、有限孔阵边缘散射和注入分布都会进一步改变模式排序，因此不能把“A 模辐射最低”直接等同于“A 模阈值电流最低”。图 5.2对比了Γ点模式与非Γ点模式的近场分布和远场辐射特性。可以看出，Γ点模式下所有原胞同相位振动，远场相干叠加形成法向主瓣，这也是PCSEL选择在Γ点附近工作的根本原因。

Γ 点模式与非 Γ 点模式的近场分布和远场辐射对比。(a) Γ 点模式( $k_x=k_y=0$ )：所有原胞以相同相位振动，远场相干叠加形成法向主瓣（ $\theta=0^\circ$ ），适合表面发射。(b) 非 Γ 点模式：近场呈现行波特征，相位沿传播方向渐变，导致远场辐射方向图倾斜。图中 $\theta\approx45^\circ$ 仅作**[教学示意]**角度，真实角度依赖结构参数与工作点。底部总结了 PCSEL 选择在 Γ 点附近工作的两个核心原因：法向辐射效率高，以及平坦能带导致群速度趋零、光子寿命延长、 $Q$ 值提升。图 5.2 · 原始 LaTeX/TikZ 图源独立渲染

能带计算的收敛性测试：一个可复现的最小例子

初次使用 PWEM 时，常见误区是默认“图能画出来就可信”。这在 PCSEL 设计里风险很高。更稳妥的做法是先固定几何参数，只扫描平面波截断阶数 $N$ ，观察关键观测量是否进入平台区。这里给出一个和本书脚本一致的最小例子：正方晶格圆孔， $r/a=0.30$ ， $\varepsilon_b=3.4^2$ ，比较 $X$ 点第 2/3 带间隔

\Delta\Omega_{23}(X)=\Omega_3(X)-\Omega_2(X)

随 $N_{\mathrm{PW}}=(2N+1)^2$ 的变化。

PWEM 截断收敛示例（本书附带脚本计算）。横轴为截断后平面波个数 N_PW=(2N+1)^2，纵轴为正方晶格圆孔教学模型在 X 点的带隙代理 Δ_23（第 3 带与第 2 带频率差）。当 N_PW 从 25 提升到 121 后，曲线已进入平台区，说明“先做收敛检查再读带隙趋势”是必要步骤。 — PWEM 截断收敛示例（本书附带脚本计算）。横轴为截断后平面波个数 $N_{\mathrm{PW}}=(2N+1)^2$ ，纵轴为正方晶格圆孔教学模型在 $X$ 点的带隙代理 $\Delta\Omega_{23}$ （第 3 带与第 2 带频率差）。当 $N_{\mathrm{PW}}$ 从 25 提升到 121 后，曲线已进入平台区，说明“先做收敛检查再读带隙趋势”是必要步骤。图 5.3 · 原始 LaTeX/TikZ 图源独立渲染

图 5.3 的数据来自本书附带脚本（code/pwem_square_hole/run_pwem_square_hole.py）的逐级截断扫描。结果很直观：当 $N_{\mathrm{PW}}=9$ 时误差仍很大；提高到 $N_{\mathrm{PW}}=49$ 后误差已降到约 $1\%$ ；到 $N_{\mathrm{PW}}=121$ 时已进入 $0.3\%$ 量级。这一趋势与经典 PWEM 文献中“先做截断收敛再给结论”的基本规范一致[Johnson & Joannopoulos, 2001]。

CommonPitfallBox把“候选带排序”建立在未收敛基底上如果在低截断下就直接比较“哪一条带更平、哪一条带更适合做目标模”，最常见后果是：随着 $N_{\mathrm{PW}}$ 提高，带间距和排序发生可见漂移，前面的设计判断被整体推翻。对 PCSEL 来说，这类错误会沿后续 CWT/RCWA/FDTD 链条被放大，代价远高于多做几轮收敛扫描。 CommonPitfallBox

为什么对称圆孔常给出中心发暗的远场

即使某一模式确实位于二阶 $\Gamma$ 点附近，也并不意味着它的远场中心一定最亮。对理想方格晶格、圆形孔和完美对称晶胞而言，某些 $\Gamma$ 点带边模式在法向中心会出现严格或近似的相消干涉，因此在有限尺寸器件里常表现为环形或中心发暗的远场图案。

这并非说该模式“没有垂直辐射”，而是说：在 exact $\Gamma$ 的 $k_{\parallel}=0$ 位置，辐射振幅可能被对称性和相位关系压成零；有限器件中由于阵列尺寸有限，角谱不可避免地扩展到 $\Gamma$ 点附近的非零 $k_{\parallel}$ 区域，于是这些邻近动量分量仍能辐射，最终形成中心发暗但外围有能量的远场图案。

这条结论在本章提前说清楚有两个好处。第一，它让读者尽早建立“存在带边谐振不等于法向中心一定亮”的边界感。第二，它把后续通过椭圆孔、双晶格、多孔单胞或 quasi-BIC 扰动把环形远场改成单主瓣远场这件事，重新还原成“同一带边家族的辐射相位关系被重新组织”，而不是凭空出现的新主题。

以方格晶格圆孔（填充比 $f=12\%$ ， $n_b=3.5$ ）为例，[本书算例]中修正等效介电常数后的二维 PWEM 带隙位置与三维 FDTD 差异约为 $1$ -- $3\%$ ；A/B/C/D 四模的相对频率排序在该算例下保持一致。该数值不应外推为普适误差上限。辐射常数（radiation constant） $r$ 的绝对值需要完整的三维 CWT（见第 10 章、第 11 章）才能精确给出，二维 PWEM 本身不直接提供此信息。

PWEM 矩阵本征方程（第 13 章的式 (13.12)）是厄米本征问题，本征值为实数，这对应无损、封闭、无限周期情形。真实 PCSEL slab 的开放辐射使本征频率变为复数；在本书 $\ee^{-\ii\omega t}$ 约定下，空间辐射常数应写成 $r = -2\,\mathrm{Im}(\tilde{\omega})/v_g$ 。该量只能通过包含辐射通道的开放系统模型（3D CWT、RCWA 或 FDTD）给出。PWEM 的贡献是给出频率排序与场型分类，不是给出损耗排序。

一个最小例子：正方晶格圆孔二维光子晶体

为了让概念尽快落地，先考虑一个教学上最常用的理想二维模型：背景介质折射率为 $n_b$ ，其中刻蚀出半径为 $r$ 的空气圆孔，圆孔按正方晶格排列，晶格常数为 $a$ 。这是一个比真实 PCSEL slab 更理想化的模型，但它的教学价值很高，因为它已经包含了周期性、倒格空间、高对称点和带图读取的大多数关键元素。

对正方晶格，实空间基矢可取为

\bm a_1 = a\,\hat{\bm x}, \qquad \bm a_2 = a\,\hat{\bm y},

对应的倒格矢基底为

\bm b_1 = \frac{2\pi}{a}\,\hat{\bm x}, \qquad \bm b_2 = \frac{2\pi}{a}\,\hat{\bm y}.

在这种约定下，第一布里渊区中的三个高对称点通常记为

\Gamma=(0,0), \qquad X=\left(\frac{\pi}{a},0\right), \qquad M=\left(\frac{\pi}{a},\frac{\pi}{a}\right).

若只想快速建立直觉，最常画的高对称路径就是

\Gamma\rightarrow X\rightarrow M\rightarrow \Gamma.

这条路径并非说系统只在这些方向上有物理，而是因为它能以最紧凑的方式展示主要对称性变化和带的代表性重组过程。

正方晶格圆孔二维光子晶体的教学型几何示意，以及对应的高对称路径 Γ X MΓ。 — 正方晶格圆孔二维光子晶体的教学型几何示意，以及对应的高对称路径 $\Gamma\rightarrow X\rightarrow M\rightarrow\Gamma$ 。图 5.4 · 原始 LaTeX/TikZ 图源独立渲染

怎么看一张能带图

阅读能带图时，不应只记录曲线数量，而应判断每个图形特征对应的物理信息。下面列出五个基本问题。

第一问：横轴和纵轴到底是什么

横轴通常是沿高对称路径的倒空间路径坐标，而非“实空间距离”；纵轴通常是像式 (5.2) 那样的归一化频率，而非绝对频率。因此，同一张图可以同时服务于“几何缩放设计”和“模式对称性阅读”。如果这一步没弄清，就很容易把不同尺寸器件的结果错拿来直接比较。

第二问：是否存在完整带隙

若在某一个频率区间内，沿整条高对称路径都没有本征带穿过，那么这个区间可能对应某一极化下的带隙。注意这里的关键词是“沿整条相关路径都没有本征值”。只在某一段路径上没看到曲线，并不等价于全局带隙；它可能只是局域频带稀疏或路径选择导致的视觉空白。

第三问：哪些点出现简并或近简并

高对称点附近的简并尤其重要，因为它们往往意味着模式可被微扰重新组织。对 PCSEL 来说，简并本身不是目标，如何利用对称性破缺让目标模和竞争模在损耗、偏振或远场上分开，才是关键。也正因此，进行器件设计时，读带图不应只记频率，还应记“哪几条带在 $\Gamma$ 点附近缠在一起”。

第四问：哪些带在目标频率附近变平

带变平意味着群速度减小。更正式地，一维路径上的群速度定义为

v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k}, \qquad \text{更一般地}\qquad \bm v_g = \nabla_{\kvec}\omega(\kvec).

因此，带图上某一段曲线越平，表示该方向上的群速度投影越小，局域态密度往往越高。对很多光子晶体问题，这会让人立刻联想到带边效应、场增强和长驻留时间。但这里必须谨慎：平带不等于最终低阈值。它只说明色散特征上可能存在有趣的候选模。若该模同时与自由空间过强耦合、与有源区重叠差、或在器件工作中受热漂移严重，那么它仍然可能不是最终激射模。

第五问：这张图是否已经告诉了我辐射信息

对理想二维无限周期问题，能带图主要告诉你 Bloch 模存在性和色散。若要判断该模在真实 slab PCSEL 中是否容易向法向辐射，还要进一步考虑光锥、纵向模、上下非对称层栈和开放边界。也就是说，能带图本身还不等于辐射图、远场图或阈值图。

能带图读图示意。橙色区域表示某一极化下可能的带隙，曲线局部变平提示群速度减小，但这些都只是候选模筛选信息，不直接等于激射结论。图 5.5 · 原始 LaTeX/TikZ 图源独立渲染

从能带图中我们究竟能得到什么

若把能带图的用途说得更系统一些，它至少提供五类高价值信息。

第一，候选模频率窗口。这决定目标工作波段附近是否存在值得继续分析的 $\Gamma$ 点模或带边模。

第二，高对称点简并结构。这决定后续微扰、对称性破缺和偏振工程可能怎样起作用。

第三，色散平坦程度与群速度趋势。这能帮助判断哪些模式可能具有较长驻留时间或较强局域化倾向。

第四，带隙与频带重排。这能帮助理解周期结构如何阻止或允许某些传播通道。

第五，给后续数值与半解析模型提供候选对象。第 10 章、第 13 章、第 14 章、第 15 章都需要先知道“应该盯住哪几条带”。

但同样重要的是知道它不能直接给什么。能带图不能直接给出：

有限孔阵边界下的真实腔模排序；
模与光锥耦合后的定量辐射损耗；
与量子阱重叠和内部吸收共同决定的净模增益；
电注入、热漂移和模式竞争下的阈值电流与工作窗口。

这条边界需要在本章明确。否则，后面关于 RCWA、FDTD/FEM、外延层、电学和热学的章节容易被误读为附加修正，而不是完成器件级结论所必需的部分。

可概括为：band diagram 给出候选资格，不给出器件级排序。 器件级排序还需要加入辐射、有限尺寸、增益、注入和热反馈。

图 5.6 用一张守门图总结这条边界。读能带图时应先把“可以直接读出的量”和“必须继续计算的量”分开放置；只要还没有进入右侧那些后续证据，就不能把候选模目录升级成器件级结论。

能带图的证据边界。能带图可以直接给出候选频率、高对称点、简并与平坦趋势；但辐射损耗、远场、有限尺寸、净模增益、注入和热反馈都需要后续模型补齐。图 5.6 · 原始 LaTeX/TikZ 图源独立渲染

带边模式、缺陷模式与 PCSEL 候选模的区别

在光子晶体激光器中，最常见的两类谐振思路是缺陷模式与带边模式。缺陷模式对应在原本周期完好的光子晶体中人为引入点缺陷或线缺陷，使某一频率位于禁带中的局域态被困在缺陷附近；它的关键词是“局域化”和“缺陷腔”。带边模式则不同，它并不依赖单独的几何缺陷，而是依赖色散关系在某个高对称点或布里渊区边界处出现极值，使群速度趋于零、态密度增大，并在有限尺寸结构中形成长寿命共振。它的关键词是“色散极值”和“二维分布反馈”，而非“缺陷”。

这一差别对 PCSEL 特别重要。PCSEL 追求的是大面积二维相干振荡与法向面发射，因此更自然的工作方式是让一大片周期结构在带边附近共同参与反馈，而非把光强行困在一个很小的点缺陷里。也正因此，带边模式在 PCSEL 中不只是一个能带术语，而是连接二维分布反馈、法向辐射和大面积单模输出的核心概念。

但这里必须把层级写清楚：

带边模式首先是一个被动色散概念，它说明模式位于色散极值附近；
PCSEL 候选模是在此基础上进一步要求该模式能够与法向辐射通道、纵向波导模和有源区耦合；
真实激射模还要再经过有限尺寸、净模增益、注入分布和热回写的筛选。

因此，带边模式是重要起点，但绝不是器件结论本身。

有限尺寸下带边模式的品质因子为什么会随群速度降低而增大

带边模式之所以重要，最常见的物理直觉是：在色散极值附近，群速度

\bm v_g = \nabla_{\kvec}\omega(\kvec)

趋近于零，光在结构中的驻留时间变长，因此更容易形成高品质因子共振。这个说法方向上是对的，但还需要加上有限尺寸这一层。

对于有限尺寸的周期结构，Bloch 波矢并不能像无限周期那样被无限精确地确定。若器件的有效横向尺度为 $L$ ，则在倒空间中总会存在一个有限的波矢不确定度

\Delta k \sim \frac{\pi}{L}.

若某一候选模围绕带边波矢 $\kvec_0$ 展开，其色散可写成

\omega(\kvec_0+\bm q) = \omega_0 + \bm v_g\cdot \bm q + \frac{1}{2}\,\bm q^{\mathsf T}H\,\bm q + \cdots,

其中 $H$ 是局部曲率张量。于是，有限尺寸导致的谱宽至少会受到两层控制：

若工作点只是接近带边而未精确落在极值点，则有一阶展宽
$\Delta\omega_{\mathrm{lin}} \sim |\bm v_g|\,\Delta k;$
若工作点已在真正极值点，使一阶项消失，则剩余展宽由二阶曲率主导
$\Delta\omega_{\mathrm{quad}} \sim \|H\|(\Delta k)^2.$

因此，“带越平， $Q$ 往往越高”的更准确表述应是：更小的群速度和更小的局部曲率，都会压缩由 $\Delta k$ 引起的频率展宽，从而提高由结构色散决定的有效品质因子。

但边界同样必须说清楚：带平并不自动等于最高 $Q$ ，更不自动等于最低阈值。真实 $Q$ 还会同时受到垂直辐射、边缘泄露、工艺粗糙和吸收损耗控制。也就是说，带边平坦度是影响 $Q$ 的重要因子，但绝不是唯一因子。

光锥、引导共振与为什么不是所有带边都适合面发射

对理想二维光子晶体来说，能带图只是在回答“给定 Bloch 波矢下允许哪些本征频率”；但 PCSEL 的真实结构是有限厚度的光子晶体平板或多层半导体波导，因此带边模式还必须再经过一关：它是否能够耦合到垂直辐射连续谱。

设外部介质折射率为 $n_{\mathrm{out}}$ ，则某个 Fourier 分量 $(\kvec_{\parallel}+\bm G)$ 若满足

|\kvec_{\parallel}+\bm G| \le k_0 n_{\mathrm{out}},

便存在沿法向传播的自由空间解。所有满足这类条件的动量点构成光锥。于是，对 slab-PCSEL 而言：

位于光锥之下的模式更接近导模，垂直泄露弱；
位于光锥之上、但因周期折叠而进入简约布里渊区的模式，则可能成为引导共振（guided resonance），既保留导模特征，又能向外辐射；
PCSEL 所需的工作带边，是既能提供二维反馈、又能以合适方式打开法向辐射通道的那一类带边，而非任意带边。

这也是为什么本章不能只说“带边群速度低，所以适合做激光器”，而必须再补一句“还要检查它相对于光锥和辐射通道的位置”。否则读者会误以为只要找到最平的一段带就足够了。

用三角晶格 I--IV 的布拉格图像理解为什么只有某些带边能成为面发射候选模

为说明“不是所有带边都适合 PCSEL”，可再考察一个经典的三角晶格教学图像。它的价值不在于规定未来一定要采用三角晶格，而在于说明：不同带边点对应的耦合回路和辐射方向本来就不同。

以三角晶格 TE 模为例，在文献中常把若干典型带边点记为 I、II、III、IV。它们的差别可概括为： enumerate 在点 I，主要发生的是 $180^\circ$ 反向耦合；由于存在六个等价方向，腔内可对应多个方向不同的谐振家族；在点 II，相互夹角为 $120^\circ$ 的波之间可以实现耦合，因此耦合图像已不同于单纯的反向反馈；在点 III，六个等价方向上的波可以同时耦合，并且还能通过一阶 Bragg 衍射把腔内谐振场耦合到法向辐射通道，因此它最适合拿来解释 PCSEL 的面发射原理；在更高频的点 IV，除了垂直方向外还常伴随倾斜的面外衍射，因此虽然它也能辐射，但并不天然是最优的法向面发射选择。 enumerate

这段内容的教学目的非常明确：PCSEL 设计不是“先找一个带边，再默认它能法向出光”，而是必须检查这个带边对应的 Bragg 散射网络究竟把光送回了哪里、又把光送出了哪里。

为什么 $\Gamma$ 点会成为 PCSEL 的重点

现在可以把注意力集中到 PCSEL 最核心的倒空间位置： $\Gamma$ 点。它之所以重要，是因为它对 PCSEL 的三个关键目标同时敏感，与其在图上的居中位置无关。

第一，PCSEL 追求近法向面发射。对倒空间而言，法向出射对应零面内波矢，因此 $\Gamma$ 点天然与近法向辐射联系最紧密。

第二， $\Gamma$ 点往往汇聚多个等价基本波分量。以正方晶格为例，最小耦合图像常涉及沿 $\pm x$ 和 $\pm y$ 方向传播的四个基本波。它们在 $\Gamma$ 点附近发生强耦合，这也是 PCSEL 耦合波理论的起点。

第三， $\Gamma$ 点通常是对称性标签最清晰的地方。模式的奇偶性、旋转对称性和简并结构在这里最容易被分类，而后续偏振选择和远场工程恰恰依赖这些标签。

因此，PCSEL 之所以一再回到 $\Gamma$ 点，是因为“法向辐射、基本波耦合、对称性工程”这三件事都在这里交汇，而非出于习惯。新手如果抓住这三个目标的交汇关系，后面再看面内反馈、面发射机制和偏振整形就不会断裂。

带边模、 $\Gamma$ 点模、被动共振模和真实激射模的区别

这一节必须写得非常硬，因为它关系到整本书能否避免概念偷换。

带边模（band-edge mode）

带边模强调的是色散性质，即模式位于色散曲线的极值附近，群速度趋近于零。它是一个被动色散概念。

$\Gamma$ 点模（Gamma-point mode）

$\Gamma$ 点模强调的是倒空间位置，即模式位于布里渊区中心附近。它是一个波矢位置概念。

被动共振模（passive resonance）

被动共振模强调的是在无增益条件下、带有开放边界和损耗时的共振特征。它是一个开放系统光学概念，已经比理想能带更接近真实器件，但仍然没有引入增益和输运。

真实激射模（lasing mode）

真实激射模强调的是在给定注入和热反馈下，哪个模先达到阈值并在工作窗口内维持主导输出。它是一个器件工作状态概念。

这四者可能重合，但绝不能默认重合。某个模式可以同时是 $\Gamma$ 点模和带边模，但仍不是最终激射模；某个被动共振模可以拥有较高 $Q$ ，但若与有源区重叠差或在热回写后排序翻转，它仍可能输给别的模。

“某模式在 $\Gamma$ 点”“某模式位于带边”“某模式被动 $Q$ 较高”都只是候选资格，不是最终器件判决。器件级判断必须等到净模增益、有限尺寸、注入分布和热回写都进入模型之后才成立。

为什么能带图好看不等于器件就会好用

这句话必须反复说，因为它对应的误判太常见。假设某条带在 $\Gamma$ 点附近很平、频率也落在目标波段上，看起来非常“像一个好模式”。这当然值得兴奋，但还必须立刻追问至少四个问题。

第一，它在真实 slab 结构中是否落在有意义的光锥与导模区间里。

第二，它与量子阱和损耗层的重叠是否有利。

第三，它在有限孔阵中是否仍维持正确排序，而不会被边缘泄漏或横向包络效应推翻。

第四，它在电流注入和温升写回之后是否仍保持净模增益优势。

只要其中任一项答案不清楚，就不能把“能带上很好看”上升为“器件设计已成功”。这也是为什么本章后面必须接第 6 章、第 13 章、第 14 章、第 15 章、第 17 章、第 18 章、第 19 章、第 20 章。

若某个 $\Gamma$ 点候选模在能带图上位置很理想，但 RCWA 显示它主要耦合到不希望的辐射通道，或者有限阵列 FDTD 显示它对边缘极其敏感，那么这个模式仍然只适合作为“理论上有趣的候选模”，而不是器件设计中的首选目标。

PCSEL 的能带设计是在寻找“既位于合适带边、又能通过正确的 Bragg 回路形成二维反馈、并且能以可控方式接入法向辐射通道”的那一类候选模，而非在寻找“最平的一条带”。

从本章到 PWEM：为什么还需要平面波展开法

到这里，读者应该已经明白“为什么要看能带图”以及“能带图能告诉我们什么”。但还没有回答另一个很实际的问题：这些图到底是怎么来的？最常用的数值入口之一，就是平面波展开法，也就是 PWEM。第 13 章将把本章的概念完全落实到数值过程：从周期 Maxwell 本征问题出发，如何展开到平面波基底，如何构造正方晶格圆孔二维光子晶体的矩阵本征问题，如何沿 $\Gamma\rightarrow X\rightarrow M\rightarrow\Gamma$ 计算带图，以及如何把计算结果读成候选模筛选信息。

若你希望把本章的正方晶格圆孔例子立刻落到真实可运行的计算，而不是停留在概念层面，那么可以直接跳转到 [ch:pwe]第 13 章“平面波展开法（PWEM）与光子能带计算”。在那里，本书项目附带的 Python 脚本会实际计算一张教学型带图，并把结果直接插回书稿。

但在进入数值之前，本书仍然按物理逻辑先走 ch:feedbackch:cmt。原因很简单：在 PCSEL 里，模式为什么面发射、为什么会竞争、为什么阈值不是单看带图就能决定，这些物理问题必须先讲透。否则第 13 章里的 PWEM 很容易再次被误读成“算图软件教程”。

把能带图当成“只要会算就会设计”的工具，是软件化误读。教材顺序应先说明图像与边界，再进入算法与求解；否则容易只记住出图流程，而不知道曲线对应的物理量。

回看本章

光子晶体能带是周期 Maxwell 本征问题的参数化本征谱。它与半导体材料电子能带共享 Bloch 定理、倒空间和 Bragg 分裂这些数学骨架，但本征对象和器件含义不同：电子能带描述载流子可占据能量和跃迁条件，光子能带描述电磁模式允许频率、传播、反馈和辐射。对 PCSEL 而言，能带图的价值在于给出候选模目录：它告诉我们目标波段附近有哪些 $\Gamma$ 点模、带边模和简并结构值得继续追踪。进一步的亮模/暗模（bright/dark）区分来自模式对称性与辐射通道的匹配：若近场对称性允许与自由空间平面波耦合，则为亮模；若所有辐射通道因对称性相消，则为暗模（BIC）。定量判据将在第 8 章用群论语言给出。但它不能直接替代开放结构分析、阈值分析和器件级热电建模。 $\Gamma$ 点之所以成为重点，是因为法向辐射、基本波耦合和对称性工程都在这里交汇；后面第 9 章会进一步把这条线翻译成 BIC / quasi-BIC 的辐射语言，而第 7 章、第 23 章则会把同一批候选模继续写成阈值排序、动态稳定性和线宽来源的问题。沿着这条线阅读，后面的 CWT、PWEM、RCWA 和器件模型才能保持连续。

练习题

enumerate [基础] 用你自己的话解释“光子能带是参数化本征谱”这句话，并说明这里的参数是什么、输出是什么。

[基础] 分别用一句话说明“半导体材料电子能带”和“光子晶体光子能带”各自回答什么问题。

[基础] 解释为什么高对称路径上的视觉空白并不自动等于真正的带隙。

[进阶] 说明带边模、 $\Gamma$ 点模和真实激射模之间为什么不能直接画等号。

[综合] 假设某个候选模在 $\Gamma$ 点附近很平且频率理想，写出至少三个仍然必须继续验证的后续问题。 enumerate

延伸阅读

itemize 下一章将从能带目录继续向前推进，讨论面内基本波如何耦合、垂直辐射如何产生，也就是为什么这些候选模会成为面发射候选模。

若你已经意识到“ $\Gamma$ 点候选模”的命运并不只由带图决定，那么可以带着本章的候选模清单继续阅读第 9 章、第 23 章：前者回答它如何通过辐射通道进入 BIC / quasi-BIC 语言，后者回答它跨过阈值之后如何进入调制、稳定性和噪声问题。

[ch:pwe]第 13 章将把本章的几何和能带概念变成实际可计算的 PWEM 流程，特别是正方晶格圆孔二维光子晶体这一教学型例子，并给出本书项目中附带的 Python 计算脚本与实际带图。 itemize

光子能带基础、Gamma 点物理与模选择

读完本章，你应能#

读前准备#

阅读主线#

为什么在 Bloch 之后必须讲能带#

先把两个“能带”分开：材料电子能带与光子晶体能带#

什么是光子晶体能带#

一个一维玩具模型：带隙为什么会打开#

Γ\GammaΓ 点四带与 ABCD 模式分类#

Γ\GammaΓ 点四带的起源与 ABCD 分类#

能带计算的收敛性测试：一个可复现的最小例子#

为什么对称圆孔常给出中心发暗的远场#

一个最小例子：正方晶格圆孔二维光子晶体#

怎么看一张能带图#

第一问：横轴和纵轴到底是什么#

第二问：是否存在完整带隙#

第三问：哪些点出现简并或近简并#

第四问：哪些带在目标频率附近变平#

第五问：这张图是否已经告诉了我辐射信息#

从能带图中我们究竟能得到什么#

带边模式、缺陷模式与 PCSEL 候选模的区别#

有限尺寸下带边模式的品质因子为什么会随群速度降低而增大#

光锥、引导共振与为什么不是所有带边都适合面发射#

用三角晶格 I--IV 的布拉格图像理解为什么只有某些带边能成为面发射候选模#

为什么 Γ\GammaΓ 点会成为 PCSEL 的重点#

带边模、Γ\GammaΓ 点模、被动共振模和真实激射模的区别#

带边模（band-edge mode）#

Γ\GammaΓ 点模（Gamma-point mode）#

被动共振模（passive resonance）#

真实激射模（lasing mode）#

为什么能带图好看不等于器件就会好用#

从本章到 PWEM：为什么还需要平面波展开法#

回看本章#

练习题#

延伸阅读#

PCSEL 理论、仿真与器件物理导论

读完本章，你应能

读前准备

阅读主线

为什么在 Bloch 之后必须讲能带

先把两个“能带”分开：材料电子能带与光子晶体能带

什么是光子晶体能带

一个一维玩具模型：带隙为什么会打开

$\Gamma$ 点四带与 ABCD 模式分类

$\Gamma$ 点四带的起源与 ABCD 分类

能带计算的收敛性测试：一个可复现的最小例子

为什么对称圆孔常给出中心发暗的远场

一个最小例子：正方晶格圆孔二维光子晶体

怎么看一张能带图

第一问：横轴和纵轴到底是什么

第二问：是否存在完整带隙

第三问：哪些点出现简并或近简并

第四问：哪些带在目标频率附近变平

第五问：这张图是否已经告诉了我辐射信息

从能带图中我们究竟能得到什么

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